Anneaux, polynômes, modules

Comme dans les volumes précédents de cet ouvrage, les auteurs se sont attachés à faire ressortir les raisons d'être et le sens de toutes les notions introduites. C'est pourquoi la présentation des outils fondamentaux est toujours assortie d'un grand nombre d'exemples concrets.

Dans le chapitre 1, partant d'exemples simples et connus, on étudie de manière approfondie les diverses propriétés que peuvent présenter les éléments d'un anneau. Puis on aborde la notion d'idéal, en introduisant l'arithmétique des idéaux. Tout cela mène à la comparaison des différents types d'anneaux.

Le chapitre 2 est loin d'être un chapitre de rappels sur les polynômes, puisque les coefficients vivent maintenant dans un anneau. On y découvrira un panorama des critères d'irréductibilité, ainsi qu'un avant-goût des difficultés que présente le problème de la factorisation des polynômes. Les questions d'élimination sont ensuite abordées à l'aide des notions de résultant et de discriminant.

Le chapitre 3 est consacré à l'étude des modules sur un anneau. L'accent est mis sur les pièges dans lesquels on peut facilement tomber lorsqu'on a l'habitude de pratiquer l'algèbre linéaire sur un corps. On examine de plus près les modules de type fini et les modules noethériens, ainsi que les questions de torsion. On termine par l'étude des modules sur un anneau principal.

À chaque chapitre s'ajoutent des « compléments » qui viennent illustrer les notions étudiées : nombres presque premiers, théorème de Bézout en géométrie algébrique, polynômes cyclotomiques, polynômes invariants par le groupe alterné, anneaux de Dedekind, mathématiques constructives...