Corps, ensembles et cardinaux

Le chapitre 1 est consacré aux extensions de corps. Une extension d'un corps K est un autre corps L contenant K. C'est un espace vectoriel sur K et s'il est de dimension finie, tous les éléments de L sont algébriques sur K, c'est-à-dire racines d'un polynôme à coefficients dans K. L'intervention de l'algèbre linéaire dans le sujet permet de donner une réponse rapide à certains problèmes de construction à la règle et au compas posés dans l'Antiquité.

Mais la notion essentielle dans ce domaine est celle du groupe des automorphismes de l'extension, appelé aussi groupe de Galois. Le théorème fondamental de Galois établit une correspondance entre sous-extensions de L et sous-groupes du groupe de Galois, ce qui fournit une compréhension profonde de la structure de l'extension. Pour ilustrer ce théorème on en tire la condition nécessaire et suffisante de résolubilité par radicaux d'une équation algébrique découverte par Galois en 1829 (c'est dans ce but que Galois a introduit la notion de groupe).

Le chapitre 2 est consacré aux corps finis. On donne encore comme application un résultat classique, la liste des polygones réguliers constructibles à la règle et au compas (Gauss, 1801, Wantzel, 1837). Le point clé de la démonstration est le fait que le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique.

Le sujet des chapitres 3 et 4 est la théorie des ensembles. Celle-ci est l'outil quotidien des mathématiciens, qui l'utilisent « intuitivement », mais il faut bien un jour affronter les points délicats. Le chapitre 3 a pour objectif la notion de bon ordre. Le chapitre 4 présente l'axiomatique de la théorie des ensembles et les cardinaux. Le lien entre lemme de Zorn, axiome du choix et principe de Zermelo est étudié en détail.