Algèbre et géométrie linéaires

Cet ouvrage, issu de cours donnés à l'université de Moscou, est consacré aux fondements de l'algèbre linéaire. Il commence par un exposé des propriétés proprement algébriques des espaces vectoriels (calcul matriciel, dualité, sommes et quotients, structure des endomorphismes) et se poursuit par une étude détaillée des espaces vectoriels pourvus d'une géométrie par le truchement d'un « produit scalaire », c'est-à-dire d'une forme bilinéaire ou sesquilinéaire (espaces euclidiens ou hermitiens, espaces symplectiques). L'ouvrage propose ensuite une introduction à la géométrie affine et à la géométrie projective, agrémentée de quelques échappées (programmation linéaire, polynôme de Hilbert d'une variété algébrique). Il se termine par une présentation à la fois théorique et pratique de l'algèbre tensorielle.

L'exposé est sobre au sens où il évite les lourdeurs de notation, les excès de formalisme ou les raffinements accessoires. Il s'attache non seulement à présenter les notions et à démontrer les résultats en toute rigueur, mais aussi à les expliquer et à leur donner chair. De ce souci d'explication relève la discussion systématique d'exemples liés à la physique (symétries de l'espace euclidien tridimensionnel, symétries de l'espace-temps en relativité restreinte, principes fondamentaux de la mécanique quantique), traités à la fois en tant qu'applications et en tant qu'éléments de compréhension de la théorie.

Sous ce rapport, comme l'écrivent les auteurs, la notion de « produit scalaire », centrale dans une partie de l'ouvrage, « peut servir à mesurer les angles dans des espaces euclidiens abstraits. Mais le mathématicien qui ignore que cette même notion permet de mesurer des probabilités (dans des modèles de la mécanique quantique), des vitesses (dans l'espace de Minkowski de la théorie de la relativité restreinte) et les coefficients de corrélation de variables aléatoires (en théorie des probabilités) se prive non seulement d'élargir son horizon, mais aussi de nourrir son intuition proprement mathématique. »

Tout en gardant un caractère élémentaire, le livre aborde, présentés de façon concise, des thèmes qu'on trouve rarement à ce niveau : langage des catégories, algèbres de Clifford, métrique kählérienne, produits tensoriels en mécanique quantique, etc. Il s'agit à la fois d'un ouvrage d'initiation à l'algèbre linéaire destiné aux étudiants en mathématiques (de licence ou des classes préparatoires) et d'un ouvrage de référence qui intéressera tant les étudiants en physique que les agrégatifs et les enseignants de mathématiques.