Modules sur un anneau et représentations linéaires des groupes finis

La théorie des modules sur les anneaux est devenue centrale en mathématiques. Son ubiquité provient en partie du fait qu'elle fournit un cadre formel matriciel pour le développement des théories cohomologiques, et ses applications dépassent désormais largement le cadre strict de l'algèbre commutative. L'objectif de cet ouvrage est d'introduire les rudiments de cette théorie et d'en donner quelques applications élégantes et spectaculaires.

Ce livre, issu d'un cours donné en troisième année du parcours mathématique à l'École polytechnique, devrait être accessible dès la troisième année de licence. Il a pour fil conducteur le problème de la classification des modules sur les anneaux, dont il traite en détail deux cas fondamentaux : l'étude des modules de type fini sur les anneaux principaux, illustrée notamment par ses applications à la théorie de la réduction des endomorphismes, et l'étude des modules sur les algèbres semi-simples, illustrée par ses applications à la théorie des représentations linéaires des groupes finis. Le cours contient également un chapitre passant en revue les principaux résultats de base de la théorie des groupes finis. Il contient les preuves détaillées de quelques très beaux résultats de théorie des groupes finis : théorème de Schur-Zassenhauss, théorème de Burnside, classification des représentations linéaires des groupes symétriques et des groupes linéaires de rang 2 sur les corps finis. Le cours est accompagné de nombreux exercices (presque tous) corrigés en appendice, qui alternent avec les développements théoriques en suivant la dynamique du cours tel qu'il était enseigné à l'École polytechnique.