Cours d'algèbre

Disciplines plus que bimillénaires, l'algèbre et l'arithmétique ont connu récemment des applications aussi spectaculaires qu'inattendues. Comment décomposer un nombre en facteurs premiers, comment reconnaître si un nombre est premier : ces questions, revivifiées par l'existence des moyens modernes de calcul, se retrouvent aujourd'hui au coeur des procédés de cryptographie les plus récents. La numérisation du stockage et de la transmission de l'information utilise les codes correcteurs, application surprenante des corps finis inventés par Galois. À côté de cette application moderne d'une théorie classique les ordinateurs, dans d'autres domaines, sont en train de modifier la conception que l'on a de l'algèbre. Le livre de Michel Demazure s'inscrit dans ce mouvement, et depuis la première édition de ce livre, l'enseignement de l'algèbre a évolué pour une part dans la direction qu'il indiquait.

Issu d'un enseignement à l'École polytechnique, ce Cours d'algèbre est accessible à des étudiants de licence ou à de bons élèves de classes préparatoires. Il rendra de grands services aux agrégatifs.

La première partie traite d'abord de l'analyse des algorithmes, puis de l'arithmétique classique et de la transformation de Fourier rapide, avec comme objectif la construction de tests performants de reconnaissance des nombres premiers. La deuxième partie, après une introduction aux corps finis et à la théorie cyclotomique, présente un exposé détaillé de leurs applications aux codes correcteurs. Cette deuxième édition est très profondément modifiée, notamment dans la deuxième partie, considérablement augmentée.

Ce livre contient 270 exercices avec solutions, dont un grand nombre comporte des calculs sur ordinateur.