Eléments de calcul tensoriel

Éléments de calcul tensoriel

I - Calcul Tensoriel

1 - Les espaces vectoriels.

Notion d'espace vectoriel. Les espaces vectoriels à n dimensions. Dualité. L'espace vectoriel euclidien.

2 - Les espaces ponctuels affines et euclidiens.

3 - Algèbre tensorielle.

Notion de produit tensoriel. Les tenseurs affines. Les tenseurs euclidiens. Éléments d'algèbre extérieure.

4 - L'espace euclidien en coordonnées curvilignes.

Dérivée et différentielle d'un vecteur ou d'un point. Coordonnées curvilignes pour un espace ponctuel euclidien. Les symboles de Christoffel. Différentielle absolue et dérivée covariante. Opérateurs différentiels en coordonnées curvilignes.

5 - Les espaces riemanniens.

Métriques euclidiennes tangentes et osculatrices. Métrique euclidienne de raccordement. Le tenseur de courbure d'un espace riemannien.

II - Applications

6 - Le calcul tensoriel et la dynamique classique.

La dynamique des systèmes holonomes à liaisons indépendantes du temps. La dynamique des systèmes holonomes à liaisons dépendant du temps. La dynamique des milieux continus.

7 - La théorie de la relativité restreinte et les équations de Maxwell.

Les principes de la théorie. Le groupe de Lorentz et l'espace-temps de Minkowski. La dynamique de la relativité restreinte. La dynamique relativiste des milieux continus. Les équations de Maxwell-Lorentz.

8 - Éléments de la théorie relativiste de la gravitation.