Introduction aux espaces de Hilbert

Accéder aux espaces de Hilbert, c'est un peu comme se diriger vers un trou de ver de l'espace interstellaire : le voyage commence comme un vol interplanétaire classique, avant la promesse de galaxies lointaines. Mais ce simple vol préalable requiert d'être soigneusement préparé, à l'aide de techniques éprouvées. Les espaces de Hilbert ne nous arrachent que progressivement à la familiarité des espaces préhilbertiens de dimension finie, mais nous projettent inévitablement vers des univers beaucoup plus stupéfiants.

L'objet du livre est de préparer le lecteur à ce vol, psychologiquement et techniquement. La boîte à outils de base contient l'algèbre linéaire, l'analyse fonctionnelle, la topologie, mais beaucoup de ses tiroirs sont à double fond. La difficulté, surmontée par l'auteur, est de ne pas ensevelir l'hilbertonaute sous une avalanche de compétences préalables, installées au contraire au fur et à mesure des besoins ; de cette manière, l'apprentissage dans les champs mathématiques les plus divers se fera par la construction d'une familiarité nécessaire avec les espaces de Hilbert, d'une richesse et d'une luxuriance stupéfiantes.

Cette familiarité est dispensée par l'auteur grâce à une démarche scientifique détaillée et pédagogiquement élaborée. Elle est visible dans les très nombreux exercices, qui permettent au lecteur de confronter ses acquis supposés à sa pratique réelle, lecteur qui pourra ainsi aborder sereinement les sujets classiques en matière d'espaces de Hilbert, depuis les divers calculs fonctionnels jusqu'à certaines classes d'opérateurs en passant par la théorie spectrale. Une expérience préalable en analyse fonctionnelle et en intégration est plaisante, mais ce livre sera l'occasion pour le Gagarine de demain de l'enrichir, ou à défaut de l'entamer, qu'il soit en troisième année de l'enseignement supérieur ou en préparation à l'agrégation par exemple. L'ouvrage contient plus de trois cents cinquante exercices, tous corrigés, ainsi que des annexes où sont rappelés des résultats utiles.