Les séries divergentes, d'Euler à Ramanujan

Les séries inspirent joie et bonheur à beaucoup de mathématiciens ; c'est qu'ils y voient le frémissement des premiers frôlements avec l'idée d'infini, mais aussi la naissance, tant repoussée, de l'Analyse. Euler, Bernoulli et Lagrange les avaient manipulées et en avaient révélé les premiers secrets, sans s'encombrer de la définition précise de la convergence, qui viendra plus tard avec Cauchy. Leur nécessaire présence, et tout l'enchantement qui en résulte, embrassait l'infini sans hésitation ni peur.

Le présent livre commence par une introduction au problème de la sommation des séries, destinée à rendre ce sujet accessible au plus grand nombre. L'auteur poursuit avec la résolution par Euler du problème de Bâle et prend le chemin qui, au moyen des séries divergentes, conduisit notre mathématicien suisse à l'équation fonctionnelle de la fonction zêta. Ce faisant, on aura fait connaissance avec la transformation d'Abel et les nombres de Bernoulli, qui apparaissent naturellement dans le calcul de cette même fonction en les entiers pairs.

Des notions un peu plus techniques arrivent avec les séries de Fourier. L'étude de ces séries va stimuler la recherche de divers procédés de sommation : le procédé de Cesàro, par moyenne de sommes partielles, qui est à la base du théorème de Fejér, le procédé de Poisson maintenant connu sous le terme de « sommation d'Abel », celui de Riemann qui permet de montrer le théorème d'unicité de Cantor sur les séries trigonométriques. L'auteur nous fait découvrir quelques méthodes de sommation parmi les plus utilisées, en examinant avec soin les liens entre certaines de ces sommations et la convergence usuelle, ce qui a donné naissance aux « théorèmes taubériens », dont le plus fameux concerne la répartition des nombres premiers.

Mais le coeur de cet ouvrage est l'exposé de la méthode de sommation que Srinivasa Ramanujan a initialement fondée sur la formule d'Euler-Maclaurin. Elle figure dans ses grimoires sous la forme d'une succession de formules, qui ont laissé, on s'en doute, une touche de grand mystère. Bernard Candelpergher en donne une formulation nouvelle utilisant l'interpolation des fonctions analytiques d'une variable complexe. Il obtient ainsi une présentation permettant d'en gommer la dimension énigmatique et d'en obtenir simplement les propriétés essentielles. Cela fera aussi le lien avec la sommation d'Euler concernant les séries alternées et permettra d'utiliser cette nouvelle sommation de Ramanujan pour donner un développement de la fonction zêta au moyen de polynômes dont les zéros sont sur la droite critique.

Nous avons là un livre d'analyse classique de toute première importance, écrit dans un style clair où transparaît le désir de l'auteur, voire son bonheur, d'expliquer et de convaincre. Les séries divergentes sont ici pour nous rappeler que dans l'infini des possibles, il y a toujours de la beauté à découvrir et de la sagesse à s'approprier.