Théorèmes d'intégrabilité

Ce volume fait suite au tome I, Structures principales. Il est consacré au problème d'équivalence et donne une démonstration détaillée des deux résultats suivants :

- le théorème d'équivalence pour les pseudogroupes de Lie plats, c'est-à-dire pour les pseudogroupes de Lie transitifs sur IRⁿ qui contiennent des translations ;

- le théorème de caractérisation formelle des systèmes d'équations aux dérivées partielles linéaires et homogènes qui peuvent s'écrire localement avec des coefficients constants.

Ce second résultat réalise un retour aux objectifs que fixaient à la théorie des pseudogroupes de Lie ses fondateurs, S. Lie et E. Cartan : il s'agit de comparer localement un système d'équations aux dérivées partielles donné à un modèle simple (ici, un modèle à coefficients constants). Le théorème affirme-que, si le système donné est formellement équivalent au modèle (ce qui se vérifie point par point sur les séries de Taylor des coefficients), il lui est localement équivalent. L'intérêt de ce résultat est lié aux propriétés bien connues des systèmes à coefficients constants, en particulier aux théorèmes d'intégrabilité d'Ehrenpreis-Malgrange.

This is the second volume of Pseudogroupes de Lie transitifs. The first dealt with the basic structures ; this second volume gives a detailed demonstration of the following theorems :

- the equivalence theorem for flat Lie pseudogroups, i.e. for Lie pseudogroups which are transitive on IRⁿ and which contain translations ;

- the formal characterization of the system of non homogeneous linear partial differential equations which can be written locally with constant coefficients.

The latter permits a return to the objectives that the founders, S. Lie and E. Cartan, had attributed to the theory of pseudogroups, namely to compare locally a given system of partial differential equations to a simple model (in this case, a model with constant coefficients). The theorem asserts that, il the give system is formally equivalent to the model (which can be checked pointwise on the Taylor series of coefficients, it is locally equivalent to it. The interest of this result is bound to the well-known properties of systems with constant coefficients and particularly to the integrability theorems of Ehrenpreis-Malgrange.