Ebauche du formalisme

Les relateurs arithmétiques (R.A.) sont développés depuis 1971 par le Groupe Systema en vue de la modélisation des systèmes vivants et, plus généralement, des systèmes naturels. Depuis 1973, ce Groupe est rattaché à l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées (ENSTA). Le nouvel outil mathématique est ouvert. Il s'appuye sur des structures cérébrales considérées comme primordiales, exprime structurellement l'adaptation d'un système à son environnement, ajoute une "dimension" langage au formalisme intégrodifférentiel classique et introduit naturellement des référentiels Espace-Temps-Imbrication.

Tome 1 : La condition d'adaptation à l'environnement (1975) est établie de façon arithmétique par Cl. Vallet, puis interprétée géométriquement par M. Ferré (1981). Ph. Riot (1988) constate que les structures de base, adoptées initialement pour des raisons systémiques, sont identiques à celles des systèmes de racines des algèbres de Lie et que la condition d'adaptation réalise un couplage entre deux structures de Lie, l'une décrivant un système idéalisé et l'autre son environnement. Ce couplage induit des imbrications de niveaux qui, dans les cas les plus simples, peuvent se manifester par des configurations d'allure fractale. Cette imbrication fut démontrée dès 1979 par J.-P. Luminet.

Tome 2 : D'autres théorèmes fondamentaux sur la réduction des séquences, la linéarisation d'un R.A. (L. Nottale), ... préparent des applications en cristallographie, en mécanique quantique et en linguistique. La notion d'élément structuré de déplacement, évoquant une cellule vivante avec son ADN (J. Chastang et F. Chauvet), et la modélisation de formes du vivant (Cl. Vallet, M. Ferré et H. Le Guyader) donnent les premières applications du formalisme en biologie.

Les résultats présentés en détail dans les tomes 1 et 2 ont été obtenus en majeure partie avant la première liaison avec les structures de Lie. Ils ne font appel à aucune théorie mathématique difficile.

Tome 3 : Les théorèmes mentionnés précédemment aboutissent aussi à une deuxième liaison avec les structures de Lie et aux notions d'observateur-acteur pacifique, de pilotage spinoriel (indispensable pour les applications en mécanique quantique), de filière et de bouclage structurel. Ces nouvelles notions sont définies dans le tome 3, qui débute par un approfondissement de la notion d'objectivité et aborde le bouclage entre les descriptions séquentielles (aspect "imbrication et langage") et les descriptions parallèles (aspect spatio-temporel). Puis, sont étudiées des classes de fonctionnement susceptibles de modéliser certaines interactions.