Modèle grand canonique, statistiques de Fermi-Dirac et de Bose-Einstein, gaz de photons, semi-conducteurs

Thermodynamique statistique

L'indiscernabilité des particules dans un gaz permet de résoudre le paradoxe de Gibbs, à savoir que le modèle canonique et la mécanique classique du reste, donnent une entropie non parfaitement extensive.

Par contre, elle rend impossible la factorisation de la fonction de partition ; on contourne le problème en se rabattant sur une factorisation par niveau d'énergie et non plus par particule. Cerise sur le gâteau elle rend le calcul d'occupation des niveaux bien plus simple.

Malheureusement, ce type de factorisation est incompatible avec un nombre fixé de particules et l'on doit introduire le modèle grand-canonique où le système échange des particules avec un réservoir.

Selon qu'un niveau d'énergie peut contenir une particule ou plus ou bien un nombre quelconque, on a affaire à un gaz de Fermi-Dirac ou de Bose-Einstein et l'on étudiera le comportement étrange de ces deux types de gaz à basse température.

Le gaz de photons est un cas un peu particulier ; il permet d'utiliser la factorisation par niveau d'énergie en restant dans le modèle canonique, ce qui nous conduira une étude très approfondie.

Par analogie, on traitera le cas des semi-conducteurs en considérant que les électrons libres forment un gaz contenu dans le réseau cristallin. On expliquera les choses essentiellement par une méthode graphique bien plus efficace que de longs calculs.

Bonne lecture.