Un bref aperçu de la géométrie projective

La géométrie projective est un territoire fascinant, mathématiquement et épistémologiquement. Desargues fut sans doute le premier à développer le concept fondamental de point à l'infini. Bien après, Poncelet, Plücker, Fano, Klein et beaucoup d'autres donneront progressivement à cette géométrie le rôle éminent qui lui revient dans les mathématiques du XIX^e siècle. L'introduction des méthodes projectives deviendra par la suite systématique en géométrie algébrique, permettant notamment d'offrir le cadre le plus pertinent pour l'énoncé de certains théorèmes, tel par exemple le théorème de Bezout, ou pour fonder convenablement des notions cruciales, telles l'équivalence birationnelle ou la résolution des singularités,

De nos jours, la géométrie projective tout élémentaire ne retrouve plus pour autant la jolie place qui fut autrefois la sienne dans les cursus universitaires. L'auteur du présent livret a cependant jusqu'à récemment enseigné ce sujet aux agrégatifs de Grenoble, et a choisi pour ce faire d'en traiter les thèmes en douceur, avec tact et délicatesse, construisant ainsi une sorte de conservatoire des techniques projectives. Dans un style rigoureux, limpide et précis, il a su mettre en valeur les idées simples et fondatrices de la théorie, les accompagnant de figures impeccables et de nombreux exercices, soigneusement corrigés. Les voies de passage entre géométrie affine et géométrie projective sont clairement tracées et, une fois la maîtrise des points à l'infini assurée, les premières applications fondamentales qui en découlent dans l'étude des coniques sont données ; le groupe projectif ainsi que l'invariant fondamental que fournit le birapport sont présentés et utilisés avec brio. Le livre se clôt sur la génération homographique des coniques.

Benoît Kloeckner nous offre là un ouvrage élémentaire, idéal pour aborder ensuite en toute assurance la lecture de textes plus savants, et qui constitue en un mot une superbe introduction à la géométrie projective.